BODMAS और सरलीकरण (Simplification)
BODMAS और सरलीकरण (Simplification)
किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘ सरलीकरण (simplification)’ कहलाती है । इसके अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं ; जैसे जोड़ , घटाव , गुणा , भाग आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल करते हुए दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता है ।
कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं –
1 . ― → रेखा कोष्ठक ( Line Bracket )
2 . ( ) → छोटा कोष्ठक ( Simple or Small Bracket )
3 . { } → मझला कोष्ठक ( Curly Bracket )
4 . [ ] → बड़ा कोष्ठक ( Square Bracket )
इनको इसी क्रम में सरल करते हैं । यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो , तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं ।
BODMAS का नियम
B → कोष्ठक ( Bracket ) रेखा कोष्ठक , छोटा कोष्ठक , मझला कोष्ठक , बड़ा कोष्ठक
O → का ( Of )
D → भाग ( Division )
M → गुणा ( Multiplication )
A → योग ( Addition )
S → अन्तर ( Subtraction )
उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है ।
सरलीकरण हेतु महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं
उभयनिष्ट गुणक
c(a+b) = ca + cb
द्विपद का वर्ग
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)
a2 – b2 = (a+b) (a-b)
अन्यान्य सर्वसमिकाएँ(घनों का योग व अंतर)
a3 – b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a+b) (a2 – ab + b2)
द्विपद का घन
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
बहुपद का वर्ग
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो
(x + a )(x + b ) = x2 + (a + b )x + ab
गाउस (Gauss) की सर्वसमिका
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c) (a2 + b2 + c2 – ab -bc – ca)
लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 + b2)
(a+b)2 – (a-b)2 = 4ab)
(a+b)4 – (a-b)4 = 8ab(a2 + b2)
लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2
(a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz – cy )2
